دنباله فیبوناچی و توالی لوکاس

آشنایی با شماره های فیبوناچی و لوکاس

دنباله ای که اکنون به عنوان اعداد فیبوناچی شناخته می شود (دنباله 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13.) برای اولین بار در کار یک ریاضیدان باستان هندی ، پینگالا (450 یا 200 قبل از میلاد) ظاهر شد. کار پینگالا با کوه کادنس (که اکنون به عنوان مثلث پاسکال شناخته می شود) او را به اولین شخص شناخته شده تبدیل کرد که به شماره های فیبوناچی نگاه کرده است. در مرحله بعد ، یکی دیگر از ریاضیدانان هندی ، ویراهانکا (قرن ششم میلادی) ، از طریق تجزیه و تحلیل یک مشکل کاملاً متفاوت ، دنباله فیبوناچی را یادداشت کرد. ویراهانکا مشکل زیر را در نظر گرفت: با فرض اینکه خطوط N واحدها از هجا هایی تشکیل شده اند که می توانند طولانی یا کوتاه باشند - یک هجا طولانی دو برابر یک هجا کوتاه طول می کشد تا بیان شود - و هر خط از واحدهای N برای بیان NO به یک زمان نیاز داردمهم است که چگونه تشکیل شده است ، چند ترکیب مختلف هجا برای هر خط طول n وجود دارد؟تحقیقات این سؤال توسط محقق هندی Hemachandra و ریاضیدان هند گوپالا در قرن دوازدهم ادامه یافت. تقریباً نیم قرن بعد ، دنباله توسط مردی مورد مطالعه قرار گرفت که نام او به شدت با شماره های فیبوناچی ، لئوناردو از پیزا ، a. k. a. فیبوناچی (1202) مرتبط است. فیبوناچی رشد معروف یک مشکل جمعیت خرگوش ایده آل را در نظر گرفت.

بعداً ، ریاضیدانان اروپایی شروع به مطالعه جنبه های مختلف اعداد فیبوناچی کردند. محققان شامل J. Kepler (1608) ، A. Girard (1634) ، R. Simpson (1753) ، é. لجر (1837) ، é. لوکاس (1870 ، 1876-1880) ، G. H. Hardy ، و E. M. Wright (1938). از این گروه ، فرانسوی ادوارد آناتول لوکاس (1870 ، 1876-1880) بود که نام خود را به شماره های فیبوناچی داد. وی همچنین یک توالی مشابه (دنباله 2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ،…) را بررسی کرد ، که بعداً شماره های لوکاس را اختراع کرد. در بسیاری از آثار ، این توالی ها ذکر شده و () اولین حروف نام خانوادگی Fibonacci و Lucas را نشان می دهند. سرانجام ، مشخص شد كه هر دو دنباله می توانند از نظر تحلیلی بر روی هواپیماهای پیچیده گسترش یابند و آنها همان رابطه عود سه ساله را برآورده می كنند ، و این نشان می دهد كه اعداد فیبوناچی و لوكاس مبالغ دو اصطلاح همسایه هستند:

برای استدلال های عدد صحیح ، اعداد فیبوناچی و لوکاس را می توان از طریق روابط متقارن (از جمله نسبت طلایی) به ظرافت نشان داد:

تعاریف اعداد فیبوناچی و لوکاس:

برای هر مجموعه ، اعداد فیبوناچی و شماره های لوکاس توسط فرمول ها تعریف می شوند:

نسبت طلایی کجاست.

اتصالات در گروه اعداد فیبوناچی و لوکاس و با سایر گروههای عملکردی

بازنمودها از طریق عملکردهای کلی تر

اعداد فیبوناچی و لوکاس و بازنمودهای زیر را از طریق عملکردهای کلی تر از جمله برخی توابع هیپرگومتریک و توابع Meijer G دارند:

بازنمایی اعداد فیبوناچی و لوکاس از طریق یکدیگر و از طریق عملکردهای ابتدایی

شماره های فیبوناچی و لوکاس را می توان با فرمول های زیر از طریق یکدیگر نشان داد:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و بازنمودهای زیر را از طریق توابع ابتدایی دارند:

شناخته شده ترین خواص و فرمول های اعداد فیبوناچی و لوکاس

مقادیر ساده در صفر و بی نهایت

اعداد فیبوناچی و لوکاس و مقادیر زیر را در صفر و بی نهایت دارند:

مقادیر خاص برای متغیرهای تخصصی

اعداد فیبوناچی و لوکاس و با استدلال عدد صحیح را می توان با فرمول های زیر نشان داد:

برای موارد آرگومان عدد صحیح ، مقادیر اعداد فیبوناچی و لوکاس را می توان با جدول زیر توصیف کرد:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و کل عملکردهای تحلیلی هستند که در کل صفحه پیچیده تعریف شده اند:

شماره های فیبوناچی و لوکاس و تناوبی ندارند.

برابری و تقارن

اعداد فیبوناچی و لوکاس و به طور کلی برابری ندارند ، اما آنها تقارن آینه دارند:

قطب ها و تکین های اساسی

شماره های فیبوناچی و لوکاس و فقط نکته مفرد را دارند. این یک نکته مفرد اساسی است.

نقاط شاخه و برش شاخه

شماره های فیبوناچی و لوکاس و دارای نقاط شاخه و برش شاخه در صفحه پیچیده نیست.

شماره های فیبوناچی و لوکاس و دارای مجموعه های زیر (که در کل صفحه پیچیده همگرا می شوند) دارند:

گسترش سری بدون علامت

رفتار بدون علامت اعداد فیبوناچی و لوکاس و توسط فرمول های زیر شرح داده شده است:

سایر بازنمایی های سری

اعداد فیبوناچی و لوکاس و برای عدد صحیح غیر منفی می توانند از طریق مبالغ زیر مربوط به دوتایی ارائه شوند:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و نمایش های انتگرال زیر در محور واقعی دارند:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و می توانند به عنوان ضرایب سری توابع تولید کننده مربوطه نمایش داده شوند:

تحولات: فرمول های اضافی

اعداد فیبوناچی و لوکاس و فرمول های اضافی بیشماری را برآورده می کنند:

تحولات: چند استدلال

اعداد فیبوناچی و لوکاس و هویت های بی شماری را برآورده می کنند ، به عنوان مثال فرمول های چند استدلال زیر:

تحولات: محصولات و قدرتهای عملکرد مستقیم

شماره های فیبوناچی و لوکاس و هویت های بی شماری را برای محصولات و قدرتها برآورده می کنند:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و راه حل های معادله تفاوت ساده زیر با ضرایب ثابت هستند:

شماره های فیبوناچی و لوکاس و هویت عود بیشماری را برآورده می کنند:

هویت های دیگر برای شماره های فیبوناچی و لوکاس و فقط هویت عملکردی هستند:

اعداد فیبوناچی و لوکاس و ویژگی های پیچیده زیر برای استدلال های پیچیده دارند:

شماره های فیبوناچی و لوکاس و بازنمودهای زیر برای مشتقات اول و سفارشات یا دستور کسری دلخواه:

شماره های فیبوناچی و لوکاس و معادله دیفرانسیل خطی مرتبه سوم زیر را برآورده می کنند:

جایی که ، و ثابت های خودسرانه هستند.

برخی از انتگرال های نامشخص برای شماره های فیبوناچی و لوکاس و می توانند به شرح زیر ارزیابی شوند:

لاپلاس اعداد فیبوناچی و لوکاس را تغییر می دهد و می تواند توسط فرمول های زیر نشان داده شود:

فرمول های زیادی برای جمع بندی محدود شماره های فیبوناچی و لوکاس وجود دارد ، به عنوان مثال:

در اینجا برخی از مبالغ بی نهایت مربوطه:

و در اینجا چند مبلغ وجود دارد:

برخی از فرمول ها از جمله عملیات محدود با شماره های فیبوناچی و لوکاس و فرم های متقارن را به خود اختصاص می دهند:

اعداد فیبوناچی را می توان از ارزیابی برخی از تعیین کننده ها بدست آورد ، به عنوان مثال:

برنامه های شماره های فیبوناچی و لوکاس

اعداد فیبوناچی و لوکاس دارای کاربردهای بی شماری در سراسر تئوری کدگذاری جبری ، مدارهای پی در پی خطی ، شبه کریستال ها ، فیلوتاکس ها ، بیوماتماتیک و علوم کامپیوتر هستند.