شناسایی نقاط تقاطع

نقاط تقاطع Les Son 3

چگونه می توانیم در مورد یافتن نقاطی که در آن دو نمودار y = f (x) و y = g (x) تلاقی می کنیم ، پیدا کنیم؟

ما در حال حاضر می دانیم که چگونه نمودار f (x) x - axis را کاهش می دهد. این جایی است که y = 0. ما آن را با حل معادله f (x) = 0 محاسبه می کنیم. هنگامی که نمودارهای y = f (x) و y = g (x) تقاطع می کنند ، هر دو نمودار دقیقاً مقادیر x و y دارند. بنابراین می توانیم با حل معادله f (x) = g (x) نقطه یا نقاط تقاطع را پیدا کنیم. راه حل این معادله مقدار (های) X از نقطه (های) تقاطع را به ما می دهد. سپس می توانیم با قرار دادن مقدار X که در یکی از معادلات اصلی پیدا کرده ایم ، مقدار y را پیدا کنیم. این با محاسبه f (x) یا g (x) است.

نقطه تقاطع دو خط f (x) = 2x - 1 و g (x) = x + 1. را محاسبه کنید. ما می توانیم نقطه تقاطع را ببینیم (2 ، 3).

ما با حل معادله f (x) = g (x) نقطه تقاطع را محاسبه می کنیم. به این معنا که:

مختصات y اکنون را می توان با محاسبه f (2) یافت:

نقطه تقاطع است(2 ، 3).

مثال نشان می دهد که می توانیم نقطه تقاطع را از دو طریق پیدا کنیم. یا از نظر گرافیکی ، با ترسیم دو نمودار در یک سیستم مختصات یکسان ، یا جبری با حل معادله مانند نمونه فوق.

حل یک معادله به صورت گرافیکی با یک ماشین حساب گرافیکی یا یک برنامه رایانه ای مانند اکسل آسان است. برخی از معادلات را نمی توان به صورت جبری حل کرد اما می توانیم با استفاده از رایانه ها و ماشین حساب ، راه حل هایی پیدا کنیم که به همان تعداد قابل توجهی از ارقام می خواهیم.

معادله x 2 - 2x - 3 = 2x - 3 را به صورت گرافیکی حل کنید ، سپس به صورت جبری.

ما نمودارهای f (x) = x 2 - 2x - 3 و g (x) = 2x - 3 را با تهیه یک جدول از مقادیر و ترسیم نقاط ترسیم می کنیم. ما می توانیم ، از نمودار و از جدول مقادیر ، ببینیم که نمودارها در هنگام x = تقاطع می کنند0و x =4.

x 2 - 2x - 3 = 2x - 3

x 2 - 4x = 0

ارائه راه حل های x =0و x =4.

معادله x 2 - 1 = 2x - 3 را حل کنید

ابتدا تمام اصطلاحات را به سمت چپ معادله منتقل کرده و ساده کنید.

این به x 2 - 2x + 2 = 0 می دهد

ما از فرمول درجه دوم با A = 1 ، B = −2 و C = 2 استفاده می کنیم.

تعداد زیر علامت ریشه مربع منفی است و این بدان معنی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد. برای دیدن اینکه چرا این است ما نمودارهای سمت چپ معادله اصلی را ترسیم می کنیم

f (x) = x 2 - 1 و سمت راست g (x) = 2x - 3.

ما می بینیم که Parabola f (x) و خط مستقیم g (x) از هم تلاقی نمی کنند. به راحتی می توان فهمید که ما نمی توانیم نقطه عدم محاسبه را صرفاً به این دلیل که چنین نکته ای وجود ندارد ، محاسبه کنیم.

معادله x 3 - 3x + 2 = x 2 - 2x + 1 را حل کنید

همانطور که در مثال قبلی ما تمام اصطلاحات را به سمت چپ معادله منتقل می کنیم.

x 3 - 3x + 2 = x 2 - 2x + 1

x 3 - x 2 - x + 1 = 0

(x 3 - x 2) - (x - 1) = 0

x 2 (x - 1) - (x - 1) = 0

(x - 1) (x - 1) (x + 1) = 0

محاسبات نشان می دهد که فقط دو راه حل وجود دارد ، x = 1 و x = −1 ، اما یک معادله مکعب می تواند سه راه حل داشته باشد. نمودار به ما نشان می دهد که چه اتفاقی می افتد.

نمودارهای f (x) = x 2 - 2x + 1 و g (x) = x 3 - 3x + 2 فقط در دو مکان تلاقی می کنند ، جایی که x = −1 و x = 1 که محلول های معادله بودند.

معادله x 2 = x را حل کنید

به راحتی می توان فهمید که x = 0 و x = 1 راه حل های معادله هستند اما راه حل های بیشتری وجود دارد؟ این به احتمال زیاد نیست اما اجازه می دهد تا نمودارها را بررسی کنیم.

با سمت چپ f (x) = x 2 و سمت راست دست g (x) = x تماس بگیرید. به یاد داشته باشید که g (x) نمی تواند مقادیر منفی x را بگیرد ، بنابراین نمی توان نقاط منفی تقاطع را داشت.

نمودار نشان می دهد که فقط دو نقطه تقاطع وجود دارد و بنابراین فقط دو راه حل برای معادله وجود دارد. x = 0 و x = 1. در اینجا چگونه می توان eqaution را با محاسبه حل کرد:

این به راه حل x = می دهد0و x =1.

معادله ln x = x 2 - 1 را حل کنید

این معادله حل آن چندان آسان نیست. اگر تعریف یک لگاریتم را به خاطر بسپاریم ، می توانیم ببینیم که x = 1 هر دو طرف معادله را برابر با 0 می کند و از این رو یک راه حل برای معادله است. ما نمودارها را ترسیم می کنیم تا ببینیم آیا راه حل های دیگری وجود دارد یا خیر.

نمودار به ما نشان می دهد که دو راه حل وجود دارد. یک راه حل دقیقاً x = 1 است زیرا E 0 = 1.

اگر از یک ماشین حساب گرافیکی استفاده کنیم ، می توانیم راه حل معادله ln x = x 2 - 1 را خیلی راحت تر پیدا کنیم.

ما نمودارهای هر دو طرف معادله را ترسیم می کنیم و از زوم (تغییر F2) و سپس TRACE (تغییر F1) استفاده می کنیم تا نقطه تقاطع را پیدا کنیم.

حتی ساده تر استفاده از G-Solve (F5) و سپس عملکرد تقاطع ISCT (F5) است. این اولین نکته تقاطع را به ما می دهد. سپس فلش راست را فشار می دهیم و ماشین حساب به نقطه تقاطع دوم حرکت می کند.

برنامه پخش ورق اکسل ابزاری به نام "Goal Seek" برای حل معادلات دارد که به راحتی نمی توان به صورت جبری حل کرد.

همانطور که نشان داده شده با تنظیم مجدد معادله شروع کنید.

اکسل را باز کنید و با انتخاب یا حدس زدن مقدار شروع برای X شروع کنید. این را در سلول B2 وارد کنید. به عنوان مثال می توانیم 0. 1 را انتخاب کنیم. در مرحله بعد فرمولی را که در سمت راست معادله ، x 2 - ln x ، در سلول D2 قرار داده ایم قرار می دهیم.

فرمول به این شکل خواهد بود:

اکنون "Tools" و سپس "Gooal Seek" را در نوار منو انتخاب کنید. موارد زیر روی صفحه نمایش داده می شود:

همانطور که نشان داده شده D2 ، 1 و B2 را در فضاها می نویسیم. ما از اکسل می خواهیم تا با تغییر مقدار در B2 ، مقدار سلول D2 را با مقدار 1 برابر کند.

وقتی روی OK کلیک می کنیم ، اطلاعات زیر ظاهر می شود.

این به ما می گوید که تقریبی x ≈ 0. 45 که ما در مثال 6 به صورت گرافیکی پیدا کردیم بسیار خوب است. محلول x ≈ 0. 4500289 که با استفاده از اکسل یافت می شود خیلی بهتر نیست.< Pan> اکسل را باز کنید و با انتخاب یا حدس زدن مقدار شروع برای x شروع کنید. این را در سلول B2 وارد کنید. به عنوان مثال می توانیم 0. 1 را انتخاب کنیم. در مرحله بعد فرمولی را که در سمت راست معادله ، x 2 - ln x ، در سلول D2 قرار داده ایم قرار می دهیم.